Pracovní list: Trojúhelník: výšky, těžnice, kružnice
7. ročník · Matematika · příklady na jednu stranu A4 · pro rodiče i učitele
Připomenutí: jak na to
Druhy trojúhelníků – podle stran: různostranný, rovnoramenný (2 strany shodné), rovnostranný (všechny 3). Podle úhlů: ostroúhlý, pravoúhlý, tupoúhlý.
Výška je kolmice z vrcholu na přímku protější strany. Výšky (jejich přímky) se protínají v průsečíku výšek. U tupoúhlého trojúhelníku leží vně, u pravoúhlého ve vrcholu pravého úhlu.
Těžnice spojuje vrchol se středem protější strany. Těžnice se protínají v těžišti T, které leží vždy uvnitř a dělí každou těžnici v poměru 2 : 1 (dvě třetiny od vrcholu).
Příklad: těžnice 12 cm → od vrcholu k T je 12 : 3 · 2 = 8 cm, od T ke středu strany 4 cm.
Kružnice opsaná prochází všemi vrcholy, její střed je průsečík os stran. U pravoúhlého trojúhelníku leží ve středu přepony (poloměr = polovina přepony).
Kružnice vepsaná se dotýká všech stran, její střed je průsečík os úhlů a leží vždy uvnitř.
Nejčastější chyba: plést si osu strany (kolmice středem strany) s těžnicí (z vrcholu do středu strany).
Opsaná kružnice = osy stran, vepsaná kružnice = osy úhlů.
Trojúhelník: výšky, těžnice, kružnice
- Kde leží střed kružnice opsané ostroúhlému trojúhelníku?
- v jednom z vrcholů
- vně trojúhelníku
- uvnitř trojúhelníku
- ve středu nejdelší strany
- Trojúhelník má obsah 24 cm² a stranu 8 cm. Jak dlouhá je výška na tuto stranu?
- 6 cm
- 16 cm
- 12 cm
- 3 cm
- Pravoúhlý trojúhelník má přeponu 10 cm. Jaký je poloměr kružnice opsané?
- 2,5 cm
- 10 cm
- 5 cm
- 20 cm
- Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku má poloměr 6,5 cm. Jak dlouhá je přepona?
- 26 cm
- 3,25 cm
- 6,5 cm
- 13 cm
- Trojúhelník má stranu 10 cm a výšku na tuto stranu 6 cm. Jaký má obsah?
- 16 cm²
- 15 cm²
- 30 cm²
- 60 cm²
- Které dva body leží VŽDY uvnitř trojúhelníku?
- průsečík výšek a těžiště
- střed kružnice opsané a těžiště
- těžiště a střed kružnice vepsané
- průsečík výšek a střed kružnice opsané
- Kde leží průsečík výšek pravoúhlého trojúhelníku?
- vně trojúhelníku
- ve vrcholu pravého úhlu
- ve středu přepony
- v těžišti
- Kde leží průsečík výšek tupoúhlého trojúhelníku?
- uvnitř trojúhelníku
- ve vrcholu tupého úhlu
- vně trojúhelníku
- ve středu nejdelší strany
- Pravoúhlý trojúhelník má přeponu 14 cm. Jak daleko je střed kružnice opsané od vrcholu pravého úhlu?
- 7 cm
- 14 cm
- 28 cm
- 3,5 cm
- Těžnice trojúhelníku má délku 15 cm. Jak daleko je těžiště od vrcholu?
- 5 cm
- 7,5 cm
- 10 cm
- 12 cm
- Kružnice opsaná prochází:
- jen dvěma vrcholy
- těžištěm
- všemi třemi vrcholy
- středy stran
- Těžiště trojúhelníku je průsečík:
- výšek
- os úhlů
- těžnic
- os stran
Řešení: Trojúhelník: výšky, těžnice, kružnice
- uvnitř trojúhelníku – U ostroúhlého trojúhelníku leží uvnitř .
- 6 cm – v = 2 · S : a = 48 : 8 = 6 cm .
- 5 cm – Střed je ve středu přepony, r = 10 : 2 = 5 cm .
- 13 cm – Přepona je průměr kružnice: 2 · 6,5 = 13 cm .
- 30 cm² – S = a · v : 2 = 10 · 6 : 2 = 30 cm² .
- těžiště a střed kružnice vepsané – Těžiště a střed vepsané kružnice jsou uvnitř u každého trojúhelníku.
- ve vrcholu pravého úhlu – Dvě výšky splývají s odvěsnami, protnou se ve vrcholu pravého úhlu .
- vně trojúhelníku – Přímky výšek se u tupoúhlého trojúhelníku protnou mimo něj.
- 7 cm – Střed opsané kružnice je od všech vrcholů vzdálen r = 14 : 2 = 7 cm .
- 10 cm – Těžiště je 2/3 od vrcholu: 15 : 3 · 2 = 10 cm .
- všemi třemi vrcholy – Opsaná kružnice prochází všemi vrcholy .
- těžnic – Těžiště T = průsečík těžnic .
mozgo.cz